Dreieck, Kreis, Ellipse, Kegelschnitt

Dynamische
Mathematik
mit:

Cabri Géomètre

Im Schuljahr 08/09 wurde am GBG eine Mathematik-AG für Schüler der Klassen 8 - 10 angeboten. Thema war, wie ne­ben­stehende Einladung zeigt, eine (Wieder-)Belebung des Schul­wissens über die Kegelschnitte.

Alle Informationen sollten im Internet besorgt werden und die "Erkenntnisse" sollten z.B. mit EUKLID DynaGeo von Roland Mechling auf der Schulhomepage dynamisch er­kundbar dokumentiert werden (Dynami­sche Geometrie).

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Wir wollten zuerst Kreissätze zusammentragen und dann vom Kreis zur Ellipse übergehen und so das Tor zu den Kegelschnitten öffnen. Dabei wurde die im Folgenden ange­gebene Struktur verfolgt, wobei wir nur einen Teil der The­men damals erarbeiten konnten. Abschnitt I.8 und vor allem der Themenkreis III wurde erst nachträglich ergänzt.

I. Kreis

1. Besondere Punkte und Kreise im Dreieck
   Umkreis, Inkreis, Höhen­schnittpunkt, Schwer­punkt, Eulergerade, Sim­son­gerade (aus der Schul­geometrie, gut geeignet zum Einüben des Geometrie­pro­gramms)
2. Weitere bes. Punkte und Kreise im Drei­eck
   Inkreis und Gergonnepunkt,  Inkreise im Dreieck, Nebenhöhen und Taylorkreis,  Schwerpunkt und Lamoenkreis, Umkreis und Tangentendreieck,  Gergonnepunkt und Tangentendreieck
3. Kreis und Gerade
   Sekante, Tangente, Passante, Dreiecksinkreis und -Ankreise, Nagelpunkt
4. Kreiswinkelsätze
   Umfangswinkelsatz, Mittelpunktswinkelsatz, Seh­nen­tangenten­winkelsatz, Fasskreisbogen, Satz des Thales
5. Sehnen-Tangenten-Sätze
   Sehnensatz, Sekan­ten­satz, Sekanten-Tangen­ten- Satz
6. Feuerbach-Kreis und co.
   "kleiner Satz v. Feuerbach",  Neun-Punkte-Kreis, großer Satz von Feuerbach
7. Satz des Ptolemäus
   Potenz und Potenzgerade
8. Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal
   Mittelsenkrechte, Lot, Winkelhalbierung, Tan­gen­ten­konstruk­tio­nen
   

II. Ellipse

1. Ellipse als affines Kreisbild
   schiefe Achsenaffinität, senkrechte Achsen­affini­tät, affine Tangentenkonstruktion, Ellipsenglei­chung
2. Brennpunkteigenschaften
   Brennpunkte, Leitkreise
3. Scheitelkrümmungskreise
   Vierfacher Schnitt zwischen Ellipse und Kreis, zwei doppelte Schnittstellen zwischen Ellipse und Kreis, Scheitelkrümmungskreise
4. Ellipsenkonstruktionen
   Gärtnerkonstruktion, Papierstreifenkonstruktion, Fähnchen­kons­truk­tion, Rytzsche Achsen­konstruk­tion
   

III. Kegelschnitte

1. Doppelkegel und Schnittebenen
2. Kegelschnitte als Kreisbilder
   bei Zentralprojektion
3. Hyperbelkonstruktionen
4. Parabelkonstruktinen
5. Dandelinsche Kugeln
6. Anwendungen
   Kühlturm, Parabolantenne, Scheinwerfer,
   Flüstergewölbe, Nierensteinzertrümmerer,
   Laser, Astronomie (Keplerellipsen)