Dreieck, Kreis, Ellipse, Kegelschnitt

Dynamische
Mathematik
mit:

Cabri Géomètre

Im Schuljahr 08/09 wurde am GBG eine Mathematik-AG für Schüler der Klassen 8 - 10 angeboten. Thema war, wie ne­ben­stehende Einladung zeigt, eine (Wieder-)Belebung des Schul­wissens über die Kegelschnitte.

Alle Informationen sollten im Internet besorgt werden und die "Erkenntnisse" sollten z.B. mit EUKLID DynaGeo von Roland Mechling auf der Schulhomepage dynamisch erkundbar dokumentiert werden (Dynamische Geometrie).

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Wir wollten zuerst Kreissätze zusammentragen und dann vom Kreis zur Ellipse übergehen und so das Tor zu den Kegelschnitten öffnen. Dabei wurde die im Folgenden ange­gebene Struktur verfolgt, wobei wir nur einen Teil der The­men damals erarbeiten konnten. Abschnitt I.8 und vor allem der Themenkreis III wurde erst nachträglich ergänzt.

1. Kreis

1. Besondere Punkte und Kreise im Dreieck
   Umkreis, Inkreis, Höhen­schnittpunkt, Schwer­punkt, Eulergerade, Sim­son­gerade (aus der Schul­geometrie, gut geeignet zum Einüben des Geometrie­pro­gramms)

2. Weitere bes. Punkte und Kreise im Drei­eck
   Inkreis und Gergonnepunkt,  Inkreise im Dreieck, Nebenhöhen und Taylorkreis,  Schwerpunkt und Lamoenkreis, Umkreis und Tangentendreieck,  Gergonnepunkt und Tangentendreieck

3. Kreis und Gerade
   Sekante, Tangente, Passante, Dreiecksinkreis und -Ankreise, Nagelpunkt

4. Kreiswinkelsätze
   Umfangswinkelsatz, Mittelpunktswinkelsatz, Seh­nen­tangentenwinkelsatz, Fasskreisbogen, Satz des Thales

5. Sehnen-Tangenten-Sätze
   Sehnensatz, Sekan­ten­satz, Sekanten-Tangen­ten- Satz

6. Feuerbach-Kreis und co.
   "kleiner Satz v. Feuerbach",  Neun-Punkte-Kreis, großer Satz von Feuerbach

7. Satz des Ptolemäus
   Potenz und Potenzgerade

8. Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal
   Mittelsenkrechte, Lot, Winkelhalbierung, Tan­gen­ten­konstruktionen

2. Ellipse

1. Ellipse als affines Kreisbild
   schiefe Achsenaffinität, senkrechte Achsen­affini­tät, affine Tangentenkonstruktion, Ellipsenglei­chung

2. Brennpunkteigenschaften
   Brennpunkte, Leitkreise

3. Scheitelkrümmungskreise
   Vierfacher Schnitt zwischen Ellipse und Kreis, zwei doppelte Schnittstellen zwischen Ellipse und Kreis, Scheitelkrümmungskreise

4. Ellipsenkonstruktionen
   Gärtnerkonstruktion, Papierstreifenkonstruktion, Fähnchenkonstruktion, Rytzsche Achsen­konstruk­tion

3. Kegelschnitte
1. Doppelkegel und Schnittebenen
2. Kegelschnitte als Kreisbilder
   bei Zentralprojektion
3. Hyperbelkonstruktionen
4. Parabelkonstruktinen
5. Dandelinsche Kugeln
6. Anwendungen
   Kühlturm, Parabolantenne, Scheinwerfer,
   Flüstergewölbe, Nierensteinzertrümmerer,
   Laser, Astronomie (Keplerellipsen)
4. Hinweise für Lehrer / Quellenverzeichnis