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Affine Geometrie / Affinitäten


Euler-Affinität

Hier sind mehrere DynaGeo-Fenster untereinander angeordnet. Es geht zunächst um die Euler-Affinität von Bild 7.2a.

Bewegen Sie in Fenster 1 der Reihe nach die Punkte A, B und F (und Sb). Beobachten Sie dabei die Fix­geraden­eigenschaft anhand der grün eingekringelten Schnittpunkte auf den Fixgeraden. Sind die pinkfarbenen Geraden ebenfalls fix?
Stellen Sie die Achse a parallel zur Grundseite der Kirche und bewegen Sie dann B und Sb oder stellen Sie die Achse b parallel zum Kirchturm und bewegen dann A und Sb.
Gehen Sie zur Ausgangssituation zurück und umfahren Sie dann die Ur-Kirche großräumig mit dem Punkt Sb. Was beobachten Sie dabei?


Fenster 1

Haben Sie beim Bewegen von Sb die Positionen gefunden, bei denen eine zentrische Streckung entsteht? Wann entsteht diese? Wo muss Sb liegen, damit eine Streckung mit positivem (negativem) Streckfaktor entsteht?
Bewegen Sie F zur Seite und anschließend Sb, damt wieder eine zentrische Streckung entsteht.
Wenn Sie oben eine zentrische Streckung genau erzeugt haben, dann betrachten Sie das Geradenbüschel, bestehend aus den beiden grünen Fixgeraden und den drei pinkfarbenen Geraden. Bewegen Sie die Punkte A und B; das darf das Bild nicht beeinflussen, sonst war die zentrische Streckung nicht genau eingestellt. Alle (unendlich vielen) Geraden durch den Fixpunkt F (Streckzentrum) sind Fixgeraden.
Die zentriche Streckung ist offensichtlich ein Sonderfall der Euler-Affintät, also als Verkettung zweier geeigneter Achsenaffinitäten (mit gleichem Affinitätsfaktor) erzeugbar.

Im folgenden Fenster 2 sind in der Euler-Affinität von Bild 7.2a wieder beide Verkettungen aktiviert, S->Sa->Sab und S->Sb->Sba. Da es hier auf die Reihenfolge nicht ankommt, müssen die graue und die orangenfarbene Kirche zusammenfallen, unabhängig von der Lage der einzelnen Punkte. Spielen Sie mit den gekennzeichneten Punkten; versuchen Sie dabei, besondere Formen und Lagen des Bildes zu erzeugen.


Fenster 2

Versuchen Sie im folgenden Fenster 3 durch Bewegen der beiden Achsen und durch Bewegen von Sa und Sb aus der Verkettung der beiden Achsenaffinitäten eine Euler-Affinität zu erzeugen. Vielleicht schaffen Sie es, speziell die Euler-Affinität von Bild 7.2a zu erzeugen.


Fenster 3

Tipp:
Wenn Sie Sa so bewegen, dass die Affinitätsstrahlen durch Sa parallel zu den entsprechenden Achsen verlaufen, erzeugen Sie eine Euler-Affinität (mehrere Möglichkeiten). Wenn Sie auch Sb bewegen, müssen Sie Sa nachjustieren.

Um Bild 7.2a nachzuempfinden, müssen die Achsen die Lage der Fixgeraden von Bild 7.2a einnehmen und Sb muss die dortige Zielposition einnehmen. Bringen Sie daher den Punkt A1 mit dem Hilfspunkt H1 zur Deckung und B1 mit H2. Verschieben Sie anschließend A2 und B2 so, dass die beiden Achsen sich in F schneiden. Bringen Sie dann Sb mit Sn zur Deckung. Bewegen Sie zuletzt Sa so, dass die beiden Affinitätsstrahlen durch Sa parallel zu den Achsen zu liegen kommen. Dazu muss Sa irgendwo in dem Hilfskreis landen.

Im folgenden Fenster 4 ist nochmals die gleiche Ausgangssituation, wie zuvor. Versuchen Sie durch Bewegen der beiden Achsen und durch Bewegen von Sa und Sb aus der Verkettung der beiden Achsenaffinitäten die Euler-Affinität von Bild 7.2b zu erzeugen.


Fenster 4

Tipp:
Natürlich muss Sb in die Zielposition analog zu Bild 7.2b zu liegen kommen; bringen Sie daher Sb mit Sn zur Deckung. Ferner sollten die Achsen die Lage der Fixgeraden von Bild 7.2b einnehmen. Bringen Sie daher anschließend A1 mit dem Hilfspunkt H1 zur Deckung und B1 mit H2. Sorgen Sie mittels A2 dafür, dass die Achse a durch die linke untere Kirchenecke verläuft und mittels B2 dafür, dass die Achse b nun senkrecht zur Achse a verläuft. Damit haben Sie die Ausgangssituation so weit wie möglich hergestellt. Schließlich müssen die Affinitätsstrahlen parallel zu den entsprechenden Achsen verlaufen. Verschieben Sie daher Sa so lange, bis diese Parallelität hergestellt ist. Sa muss sich dann innerhalb des Hilfskreises befinden.

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Dietrich Tilp | 01.2014